Об устойчивости колебаний прямоугольной пластины в идеальной жидкости

Abstract

В линейной постановке рассмотрена плоская гидроупругая задача о колебании защемленной тонкой изотропной прямоугольной пластины, разделяющей идеальные несжимаемые жидкости в прямоугольном канале с жесткими боковыми стенками и жестким верхом и дном. Пластина подвержена растягивающим или сжимающим усилиям в срединной поверхности. Задача о плоских совместных колебаниях пластины и жидкости представлена системой интегро-дифференциальных уравнений с граничными условиями закрепления пластины и условием сохранения объема несжимаемой жидкости. При решении краевой задачи на собственные значения форма прогиба пластины предоставлена суммой фундаментальных решений однородного уравнения для пластины и частного решения неоднородного уравнения в виде разложения по собственным функциям колебаний идеальной жидкости в прямоугольном канале. Получено в виде определителя четвертого порядка частотное уравнение свободных совместных колебаний пластины и жидкости и проведено его упрощение. Показано, что оно распадается на два уравнения, описывающих несимметричные и симметричные частоты свободных колебаний (нечетные и четные частоты) и может быть представлено в единой форме для этих частот в виде бесконечного ряда. С учетом двух членов ряда выписано приближенное частотное уравнение (учет одного члена ряда не содержал уравнения). Из условия положительности квадрата частоты получены приближенные условия устойчивости колебании пластины и жидкости. Эти условия не зависят от глубин заполнения жидкостей и массы пластины. При действии растягивающих усилий условия устойчивости всегда будут выполнены, а в случае сжимающих усилий оценено влияние механических параметров системы на устойчивость колебаний пластины и жидкости. Удалось получить точные условия устойчивости. Показано, что приближенные условия устойчивости с достаточной для практики точностью совпадают с точными.

-

A linear hydroelastic problem of oscillating a clamped thin isotropic rectangular plate separating ideal incompressible fluids in a rectangular channel with rigid side walls and a rigid top and bottom is considered in the linear formulation. The plate is subject to tensile or compressive forces in the middle surface. The problem of plane joint oscillations of a plate and a fluid is represented by a system of integro-differential equations with boundary conditions for fixing the plate and the condition for maintaining the volume of an incompressible fluid. When solving the eigenvalue boundary value problem, the plate deflection form is provided by the sum of the fundamental solutions of the homogeneous equation for the plate and the particular solution of the inhomogeneous equation in the form of expansion in eigenfunctions of oscillations of an ideal fluid in a rectangular channel. The frequency equation of free joint oscillations of a plate and a liquid was obtained in the form of a fourth-order determinant and was simplified. It is shown that it splits into two equations describing asymmetric and symmetric frequencies of free oscillations (odd and even frequencies) and can be represented in a single form for these frequencies in the form of an infinite series. Taking into account the two terms of the series, an approximate frequency equation was written out (accounting for one term of the series did not contain an equation). From the condition of the positivity of the frequency square, approximate conditions for the stability of the plate and fluid oscillations are obtained. These conditions do not depend on the depth of filling of liquids and the mass of the plate. Under the action of tensile forces, the stability conditions will always be fulfilled, and in the case of compressive forces, the influence of the mechanical parameters of the system on the stability of the plate and fluid oscillations is estimated. It was possible to obtain exact conditions of stability. It is shown that the approximate stability conditions with accuracy sufficient for practice coincide with the exact ones.