Власні частоти коливань пластини, яка поділяє двошарову ідеальну рідину з вільною поверхнею у прямокутному каналі

Abstract

Досліджено аналітично і чисельно частотний спектр плоских коливань пружної пластини, яка поділяє двошарову ідеальну рідину з вільною поверхнею в прямокутному каналі. Для довільного закріплення контурів прямокутної пластини показано, що частотний спектр розглянутої задачі складається з двох наборів частот, яки описують коливання вільної поверхні рідини і пружної пластини. Рівняння зв’язаних коливань пластини та рідини представлені у вигляді системи інтегро-диференціальних рівнянь з граничними умовами закріплення контурів пластини та умовою збереження об’єму рідини. При розв’язанні крайової задачі на власні значення форма прогину пластини представляється сумою фундаментальних рішень однорідного рівняння для незакріпленої пластини і часткового розв’язання неоднорідного рівняння у вигляді розкладання за власними функціями коливань ідеальної рідини у прямокутному каналі. Отримано у вигляді визначника четвертого порядку частотне рівняння вільних сумісних коливань пластини та рідини. У випадку затиснених контурів пластини проведено його спрощення і проведені детальні чисельні дослідження першого і другого наборів частот від основних механічних параметрів системи. Відзначається слабкий взаємовплив коливань пластини на коливання вільної поверхні та навпаки. Показано, що зі зменшенням маси пластини частоти другого набору зростають і приймають найбільше значення для безінерційних пластин або мембран. Зменшення частот другого набору відбувається зі збільшенням глибини заповнення верхньої рідини або зі зменшенням глибини заповнення нижньої рідини. З урахуванням двох членів ряду у частотному рівнянні отримано наближені формули для другого набору частот та показано їх ефективність. Зі збільшенням числа членів ряду частотного рівняння попередні корені першого і другого наборів уточнюються та з’являтися нові.